幂，圆面积与其外切正方形的面积之比为π∶4，由此他推得：圆台（锥）的体积与其外切正方台（锥）的体积之比，也是π∶4。很显然，如果知道了正方台（锥）的体积，即可求得圆台（锥）的体积。刘徽这个成果，看似简单，实际起着继往开来的重要作用，故有的现代数学家称之为“刘徽定理”。在古代没有微积分的时候，这条定理起着微积分的作用，在现代数学中仍有其价值。刘宋时祖冲之、祖暅父子继承刘徽定理而得出更为进步的祖氏原理。在西方，直到1635年意大利数学家卡瓦列利才有了与祖氏父子类似的思想，比祖氏父子已晚了一千一百多年，比刘徽更迟了一千三百多年。
3、十进小数的应用在数学计算或实际应用中总不免出现奇零小数，在刘徽以前，一般是用分数或命名制来表示，如“一升又五分升之三”，即升。或七分八厘九毫五忽”等，在位数较少时，尚可凑合，当小数位数太多时，便很不方便，因之刘徽建立了十进分数制。他以忽为最小单位，不足忽的数，统称之为微数，开平方不尽时，根是无限小数，这又是无限现象。他说：“微数无名者以为分子，其一退以十为分母，再退以百为母，退之弥下，其分弥细，则朱幂（已经开出去的正方形面积）虽有所弃之数（未能开出的部分），不定言之也”。用现代方法写其方根近似值是忽。
刘徽在对奇零小数的处理上所创立的十进小数记法，在世界数学史上也是一项重要的成就，外国的同样方法，到十四世纪才出现，比刘徽晚了千余年。
4、改进了线性方程组的解法《九章算术》中有一章专讲线性方程组问题。用一种“直除法”求解，即解方程组时把多个未知数逐步减少到一个未知数，然后反过来求出所有未知数的值。“直除法”的消元（未知数）要通过对应项系数累减的办法来完成，比较麻烦。刘徽对“直除法”加以改进，在解二元一次方程组时，用了“互乘对减”的方法，一次消去一项，如同后来的加减消元法。刘徽虽然只用过一次“互乘对减法”，但他知此法带有普遍性，可以推广到任何元数的线性方程组。刘徽还使用配分比例法解线性方程组，也是有创造性的成果。在欧洲，直到十六世纪法国数学家布丢解线性方程的方法才与《九章算术》的“直除法”相似，然而已比《九章算术》晚了一千七百多年，而且没有刘徽改进的解法好。
5、总结和发展了重差术我国古代，将用“表”（标杆）或“矩”（刻划以留标记）进行两次测望的测量方法称做“重差术”。《九章算术注》中第九章《句股》，主要讲测量高、深、广、远问题，说明当时测量数学和测绘地图已有相当水平。刘徽《重差》一卷所以被改称《海岛算经》就是因为其第一题是讲测量海岛的。“重差”之名，古已有之，刘徽对之进行了深入而具体的研究，他解释重差的含义说：“凡望极高，测绝深，而兼知其远者，必用重差，勾股则必以重差为率，故曰：重差也”。刘徽的《海岛算经》共有九个应用题，都有解法和答案。其解法都可以变成平面三角公式，起着与三角同等的作用，可说是我国古代特有的三角法。
关于刘徽的身世，因史书失载，难以确知。《宋史》卷105《礼八》记述宋徽宗大观三年（1109年）追封古天算家七十余人，其中有“魏刘徽淄乡男”。男是宋徽宗给刘徽追加的封爵，古时大臣死后常以其旧乡追封之。曹魏时，带“淄”的地名只有临淄县（属青州齐国），北宋时，除临淄外，还有淄川县（今山东寿光县），故知刘徽是今山东淄博市至寿光县一带人。因魏晋史书不载刘徽生平事迹，故有的数学史家谓刘徽系布衣数学家。然刘徽在《九章算术注》中自言他曾见“晋武库中有汉时王莽所作铜斛”，刘徽若是一介平民，何以能熟知京师武库重地的古代珍物？又何以有测望海岛并常为修筑巨大工程而深究数学的必要？从刘注中，可以看出刘徽的学识文笔均属上乘，如此人才，在当时仕宦，实极容易。陈寿《三国志》对政经大事及重要人物，每多遗漏，刘徽不见于史，自不足为奇。查《隋书》卷34《经籍志三》有《鲁史欹器图》一卷，并注明为仪同刘徽撰，隋志于后再载刘徽撰的《九章算术十卷》和《九章重差图一卷》时，仅注明“刘徽撰”，而不再冠以官名，这也是刘徽曾做过官的又一证据。清人姚振宗谓曹魏无“仪同”之官，因而他以为此仪同非刘徽。然据《三国志》卷43《黄权传》云“景初三年（蜀延熙二年，239年）（黄）权迁车骑将军、仪同三司”，怎能说魏无仪同之官呢？由于以上理由，我以为刘徽并非布衣学者，而曾仕于魏、晋之际。
四、张仲景和他的《伤寒论》、《金匮要略》
汉末三国，祖国医学又有了重要发展，张仲景的医学成就特别引人注目。
张仲景，名机，南阳涅阳县人，约生于汉桓帝和平元年（150年），死在汉献帝建安二十四年（219年）。他自动好学，博览群书，特好医学，师事同郡名医张伯祖。建安初，军阀混战，扰攘不休，中土人民死亡流徙，“疫疠数起”，“家家有僵尸之痛，室室有号泣之哀。或阖门而殪，或举族而丧”。仅在建安十年（205年）前，张仲景宗族二百余口，死亡即达三分之二，其中死于伤寒病者占百分之七十。这种惨痛情况，使张仲景对于医术钻研更勤，他总结前人医学成果，博采药方，写了许多有价值的医学用书。惜多已亡佚，留传于后世者，唯有《伤寒杂病论》十六卷。经后人整理校勘，将书中伤寒部分定名为《伤寒论》；杂病部分定名为《金匮要略》。《伤寒论》十卷、二十二篇，三百九十七法，一百一十三方，论述了伤寒等外感热性病的病理、诊断、治疗及用药。《金匮要略》六卷二十五篇，包括内科、外科、妇产科、皮肤科等四十多种杂病的治疗方法一百三十九条，二百六十二方，以脏腑经络学说作为基本论点，重视内脏间的整体联系性，强调保持人体的正气，同时也不忽视去邪。
我国古代所说的伤寒，和现在专指伤寒杆菌所导致的伤寒病不同，《内经·素问·热论篇》说：“今夫热病者，皆伤寒之类也”；又说：“人之伤于寒也，则为热病。”可见古人所说的伤寒是指一些因外感而带高烧症状病的通称，除今日所说的伤寒病外，还包括其他多种传染病。这类病病情复杂，转变急剧，诊断和治疗都比较难。张仲景除“勤求古训，博采众方”外，还用四诊，即望诊、闻诊、问诊和切脉，从多方面了解病情，然后加以分析综合，归纳为六经，即三阳（太阳、少阳、阴阳）和三阴（太阴、少阴、厥阴）六种症候类型。凡抗病力强、病势亢奋的，是三阳病；抗病力弱，病势虚衰的，是三阴病。治疗三阳病，以驱邪为主，以期迅速消除病灶。治疗三阴病，以扶正为主，以增加病人的抗病能力，调动人体积极因素。在具体医疗时，还以阴、阳、表、里、寒、热、虚、实为辨症的提纲，先分析病情是阳症或阴症。由阴阳辨明表里，再辨明虚实，再辨明寒热，这就是祖国诊断学上著名的“八纲”。一般而言，有兴奋、充血、发热等症候和脉象洪大有力浮滑的是阳症；病势沉伏而难发现、恶寒、厥冷、脉象沉迟、细弱无力的是阴症；病症发生在体表的是表症；在内部的是里症；凡病毒滞留体内，而精气已现虚弱的是虚症。邪气充实，但精力仍足以抵抗的是实症；病态表现有寒性倾向的是寒症，有热性倾向的是热症。
症状辨明后，再进行治疗。张仲景根据前人和自己治病经验，把对各种症状的治疗方法概括为汗、吐、下、和、温、清、补、消八种。即邪在肌表用汗法（发汗）。邪壅于上用吐法（催吐）。邪实于里用下法（泻下）。邪在表里之间用和法（解毒）。寒症用温法，热症用清法，虚症用补法，积滞和肿块一类病症用消法。这些治疗法则概括力强，实用价值高，可以根据不同的病情，单独或配合使用。张仲景的学术思想和有关病症的论述有继往开来的作用，至今仍为学习祖国医学者所必读。
五、著名外科医生华佗
华佗，一名旉，字元化，沛国谯县人，早年游学徐州，兼通数经。沛相陈珪举佗孝廉，太尉黄琬辟，均不就。唯以从医为事，足迹遍及今河南、山东及安徽、江苏之江北地区。治愈患者甚众。他精于方药，每疗疾，开汤药不过数种，抓药不用称量，随手取来，自然适度。为人针灸，不过扎一两处，每处七八针，针拔即见效。除内科及针灸外，还精通妇产及儿科，尤擅长外科。为了解除病人手术时的疼痛，他总结前人行医经验，加上自己对醉酒现象的观察借鉴，完成了麻醉术的发明，《后汉书》卷82下《方术传》言华佗在动手术前，先令病人以酒服麻沸散，使之沉醉无所觉，这是祖国医学上的一大突破。据说阿拉伯医生知道用麻醉剂，即系从中国学到的，说明用酒和麻沸散作临床手术前的麻醉剂，是具有世界意义的。《三国志》卷29《方技传》言：
若病结积在内，针药所不能及，当须刳割者，便饮其麻沸散，须臾便如醉死无所知，因破取。病若在肠中，便断肠湔洗，缝腹膏摩，四五日差，不痛，人亦不自寤，一月之间，即平复矣。
说明华佗当时已能作切除肿瘤及割除肠胃病灶等手术。其作法与现代外科手术大致相仿，足见其技术之高超。
华佗非常重视日常防病和保健工作，他对徒弟吴普说：
人体欲得劳动，但不当使极尔。动摇则谷物得消，血脉流通，病不得生，譬犹户枢不朽是也。是以古之仙者为导引之事，熊颈鸱顾，引挽腰体，动诸关节，以求难老。吾有一术，名五